المتتاليات العددية والاستقراء الرياضي – درس شامل مع أمثلة

المقدم: أحمد محاميد

كلمات مفتاحية: رياضيات بكالوريا سوريا | محلول رياضيات بكالوريا pdf 2026 | رياضيات درعا 2026

المقدمة

أهلاً بكم أعزائي طلاب وطالبات الثانوية العامة. في هذا الدرس الشامل والمفصل، سنغوص في عالم المتتاليات العددية، وهو أحد أهم الفصول في منهج رياضيات بكالوريا سوريا. سنقوم بشرح الأفكار الأساسية مع أمثلة محلولة مفصلة.

الفكرة الأولى: تعريف المتتالية وجهة اطرادها

أولاً: طرق تعريف المتتالية

1. التعريف الصريح:

$$u_n=f(n)$$

حيث نعبر عن الحد العام مباشرة بدلالة الرتبة n

الحل:

$$\begin{array}{rrr}{u}_0& =& 2\times 0+3=3\\ u_1& =& 2\times 1+3=5\\ u_2& =& 2\times 2+3=7\end{array}$$

2. التعريف بالتدريج (التكراري):

$$u_0=a,u_{n+1}=f(u_n)$$

الحل:

$$\begin{array}{rrr}{u}_1& =& 2u_0+1=2\times 1+1=3\\ u_2& =& 2u_1+1=2\times 3+1=7\\ u_3& =& 2u_2+1=2\times 7+1=15\end{array}$$

ثانياً: جهة اطراد المتتالية (الرتابة)

تعريفات الرتابة:

1. متزايدة تماماً: $\forall n\ge n_0,u_{n+1}>u_n$
2. متزايدة: $\forall n\ge n_0,u_{n+1}\ge u_n$
3. متناقصة تماماً: $\forall n\ge n_0,u_{n+1}<u_n$
4. متناقصة: $\forall n\ge n_0,u_{n+1}\le u_n$

الحل بطريقة الفرق:

$$\begin{array}{rrr}{u}_{n+1}–u_n& =& [3(n+1)+2]–[3n+2]\\ & =& 3n+3+2–3n–2\\ & =& 3>0\end{array}$$

إذن المتتالية متزايدة تماماً

الفكرة الثانية: المتتالية الحسابية وخواصها

تعريف المتتالية الحسابية:

متتالية ننتقل من حد إلى الحد الذي يليه بإضافة عدد ثابت r (الأساس)

$$u_{n+1}=u_n+r$$

الحل:

$$\begin{array}{rrr}{u}_1& =& u_0+3=2+3=5\\ u_2& =& u_1+3=5+3=8\\ u_3& =& u_2+3=8+3=11\end{array}$$

الصيغة العامة للحد العام:

$$u_n=u_0+nr$$

أو بشكل عام:

$$u_n=u_m+(n–m)r$$

الحل:

$$\begin{array}{rrr}{u}_{10}& =& u_5+(10–5)r\\ & =& 15+5\times 2\\ & =& 15+10=25\end{array}$$

مجموع حدود متتالية حسابية:

$$S=u_p+u_{p+1}+\dots +u_m=\frac{m–p+1}{2}·(u_p+u_m)$$

عدد الحدود = $m–p+1$

الحل:

هذه متتالية حسابية أساسها $r=1$

$$\begin{array}{rrr}S& =& 1+2+3+\dots +100\\ & =& \frac{100–1+1}{2}\times (1+100)\\ & =& \frac{100}{2}\times 101\\ & =& 50\times 101=5050\end{array}$$

خاصية ثلاثة حدود متتالية:

ثلاثة أعداد a، b، c تشكل حدوداً لمتتالية حسابية إذا وفقط إذا كان:

$$a+c=2b$$

الحل:

$$\begin{array}{rrr}3+7& =& 2x\\ 10& =& 2x\\ x& =& 5\end{array}$$

الفكرة الثالثة: المتتالية الهندسية وخواصها

تعريف المتتالية الهندسية:

متتالية ننتقل من حد إلى الحد الذي يليه بالضرب بعدد ثابت q (الأساس)

$$u_{n+1}=u_n\times q$$

الحل:

$$\begin{array}{rrr}{u}_1& =& u_0\times 2=3\times 2=6\\ u_2& =& u_1\times 2=6\times 2=12\\ u_3& =& u_2\times 2=12\times 2=24\end{array}$$

الصيغة العامة للحد العام:

$$u_n=u_0{q}^n$$

أو بشكل عام:

$$u_n=u_m{q}^{n–m}$$

الحل:

$$\begin{array}{rrr}{u}_5& =& u_2\times q^{5–2}\\ & =& 18\times 3^3\\ & =& 18\times 27=486\end{array}$$

مجموع حدود متتالية هندسية (عندما q ≠ 1):

$$S=u_p+u_{p+1}+\dots +u_m=u_p·\frac{1–q^{m–p+1}}{1–q}$$

الحل:

هذه متتالية هندسية أساسها $q=2$ وعدد حدودها 5

$$\begin{array}{rrr}S& =& 1\times \frac{1–2^5}{1–2}\\ & =& \frac{1–32}{–1}\\ & =& \frac{–31}{–1}=31\end{array}$$

خاصية ثلاثة حدود متتالية هندسية:

ثلاثة أعداد موجبة a، b، c تشكل حدوداً لمتتالية هندسية إذا وفقط إذا كان:

$$a·c=b^2$$

الفكرة الرابعة: مبدأ الإثبات بالتدريج (الاستقراء الرياضي)

خطوات الإثبات بالاستقراء:

لإثبات صحة خاصية E(n) تتعلق بالعدد الطبيعي n في حالة $n\ge n_0$:

1. الخطوة الأولى (الحالة القاعدية): نثبت صحة الخاصية عندما $n=n_0$
2. الخطوة الثانية (الانتقال): نثبت أنه إذا كانت E(p) صحيحة لـ $p\ge n_0$ فإن E(p+1) صحيحة
3. الاستنتاج: نستنتج صحة E(n) لكل $n\ge n_0$

الحل:

الخطوة 1 – الحالة القاعدية:
عندما n = 1:
الطرف الأيسر = 1
الطرف الأيمن = $\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1$
إذن الخاصية صحيحة عندما n = 1

الخطوة 2 – الانتقال:
نفترض أن الخاصية صحيحة لرتبة p، أي:

$$1+2+\dots +p=\frac{p(p+1)}{2}$$

نريد إثبات أنها صحيحة لـ p+1، أي:

$$1+2+\dots +p+(p+1)=\frac{(p+1)(p+2)}{2}$$

$$\begin{array}{rrr}الطرف\; الأيسر& =& [1+2+\dots +p]+(p+1)\\ & =& \frac{p(p+1)}{2}+(p+1)\\ & =& \frac{p(p+1)+2(p+1)}{2}\\ & =& \frac{(p+1)(p+2)}{2}\end{array}$$

الاستنتاج:
الخاصية صحيحة لكل $n\ge 1$

---

مصادر إضافية للدراسة:

للمزيد من التمارين المحلولة والنماذج الامتحانية، ابحث عن:
رياضيات بكالوريا سوريا | محلول رياضيات بكالوريا pdf 2026 | رياضيات درعا 2026