درس المتتاليات العددية: التعريف، الرتابة، والحسابية

📚 المتتاليات العددية: من التعريف إلى الرتابة والخواص

في هذا الدرس الشامل، سنستعرض الأفكار الأساسية في دراسة المتتاليات، بدءاً من طرق تعريفها، مروراً بدراسة جهتتها (الرتابة)، وصولاً إلى خصائص المتتاليات الحسابية وكيفية حساب مجموع حدودها.

أولاً: تعريف المتتالية وطرق توليدها

المتتالية العددية هي دالة مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية (أو جزء منها). نرمز للصورة العامة للحد ذي الرتبة $n$ بالرمز $u_{n}$ .

يمكن تعريف متتالية بطريقتين رئيسيتين:

تعريف صريح (Explicite): حيث نعبر عن الحد العام كدالة في $n$ مباشرة. $u_{n} = f (n)$
تعريف بالتدريج (Récurrence): حيث نعطي الحد الأول وعلاقة تربط كل حد بالحد الذي يليه. $u_{0} = a, u_{n + 1} = f (u_{n})$

ثانياً: دراسة جهة طراد المتتالية (الرتابة)

ندرس كيف تتغير حدود المتتالية (هل تزداد أم تنقص؟). لنفترض متتالية ${(u)}_{n \geq n_{0}}$ .

1. التعاريف الأساسية:

متزايدة تماماً (Strictement croissante): إذا كان $u_{n + 1} > u_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ .
متزايدة (Croissante): إذا كان $u_{n + 1} \geq u_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ .
متناقصة تماماً (Strictement décroissante): إذا كان $u_{n + 1} < u_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ .
متناقصة (Décroissante): إذا كان $u_{n + 1} \leq u_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ .
ثابتة (Constante): إذا كان $u_{n + 1} = u_{n}$ لكل $n \geq n_{0}$ .

2. طرق دراسة الرتابة:

لدينا ثلاث طرق رئيسية لتحديد ما إذا كانت المتتالية متزايدة أو متناقصة:

الطريقة الأولى: دراسة إشارة الفرق

نحسب المقدار:

u_{n + 1} - u_{n}

إذا كان الفرق $> 0$ فإن المتتالية متزايدة.
إذا كان الفرق $< 0$ فإن المتتالية متناقصة.

الطريقة الثانية: دراسة نسبة الحدين

إذا كانت $u_{n} > 0$ ، نحسب النسبة:

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

ونقارنها بالعدد 1:

إذا كانت النسبة $> 1$ فإن المتتالية متزايدة.
إذا كانت النسبة $< 1$ فإن المتتالية متناقصة.

الطريقة الثالثة: دراسة الدالة المولدة

إذا كان $u_{n} = f (n)$ ، ندرس تغيرات الدالة $f$ على المجال $[n_{0}, + \infty [$ .

إذا كانت $f$ متزايدة، فإن $u_{n}$ متزايدة.
إذا كانت $f$ متناقصة، فإن $u_{n}$ متناقصة.

أمثلة تطبيقية على دراسة الرتابة:

📝 مثال 1 (باستخدام الفرق):

لتكن المتتالية معرفة بـ:

u_{n} = n^{2} + 3

ادرس رتابتها.

✓ الحل:
نحسب الفرق

u_{n + 1} - u_{n}

u_{n + 1} - u_{n} = ({(n + 1)}^{2} + 3) - (n^{2} + 3)

= (n^{2} + 2 n + 1 + 3) - n^{2} - 3 = 2 n + 1

بما أن $n \geq 0$ ، فإن $2 n + 1 > 0$ .

إذن: $u_{n + 1} > u_{n}$ ، المتتالية متزايدة تماماً.

📝 مثال 2 (باستخدام النسبة):

لتكن المتتالية:

u_{n} = \frac{2^{n}}{n!}

حيث $n \geq 1$ . ادرس رتابتها.

✓ الحل:
الحدود موجبة تماماً. نحسب النسبة:

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!} \times \frac{n!}{2^{n}}

= \frac{2^{n} \times 2 \times n!}{(n + 1) \times n! \times 2^{n}} = \frac{2}{n + 1}

ندرس $\frac{2}{n + 1} < 1$ ؟

2 < n + 1 \Leftrightarrow n > 1

إذن المتتالية متناقصة ابتداءً من الرتبة $n = 2$ .

ثالثاً: المتتالية الحسابية (Suites Arithmétiques)

1. التعريف:

متتالية ${(u)}_{n}$ تسمى حسابية إذا انتقلنا من حد إلى الحد الذي يليه بإضافة عدد ثابت $r$ يسمى الأساس (Raison).

u_{n + 1} = u_{n} + r

2. الحد العام (صيغة العلاقة بين حدين):

لحساب أي حد $u_{n}$ بدلالة حد آخر $u_{p}$ والأساس $r$ :

u_{n} = u_{p} + (n - p) r

حالة خاصة (إذا عرفنا الحد الأول $u_{0}$ ):

u_{n} = u_{0} + n r

3. مجموع حدود متتالية حسابية:

مجموع حدود متتالية حسابية يساوي:

S = عدد الحدود \times \frac{(أول حد + آخر حد)}{2}

ملاحظة هامة: عدد الحدود بين الرتبتين $m$ و $p$ (حيث $m > p$ ) هو:

عدد الحدود = m - p + 1

أمثلة تطبيقية على المتتالية الحسابية:

📝 مثال 3 (حساب حد ومجموع):

لتكن ${(u)}_{n}$ متتالية حسابية أساسها $r = 3$ وحدها الأول $u_{0} = 2$ .

احسب $u_{10}$ .
احسب المجموع $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}$ .

✓ الحل:
1) لحساب

u_{10}

نستخدم الصيغة:

u_{10} = u_{0} + 10 r = 2 + 10 (3) = 2 + 30 = 32

2) لحساب المجموع

S

عدد الحدود من 0 إلى 10 هو $10 - 0 + 1 = 11$ حداً.

S = 11 \times \frac{u_{0} + u_{10}}{2} = 11 \times \frac{2 + 32}{2} = 11 \times \frac{34}{2} = 11 \times 17 = 187

عن الكاتب

admin

زيارة الموقع

مقدمة في المتتاليات

📚 المتتاليات العددية: من التعريف إلى الرتابة والخواص

أولاً: تعريف المتتالية وطرق توليدها

ثانياً: دراسة جهة طراد المتتالية (الرتابة)

1. التعاريف الأساسية:

2. طرق دراسة الرتابة:

الطريقة الأولى: دراسة إشارة الفرق

الطريقة الثانية: دراسة نسبة الحدين

الطريقة الثالثة: دراسة الدالة المولدة

أمثلة تطبيقية على دراسة الرتابة:

ثالثاً: المتتالية الحسابية (Suites Arithmétiques)

1. التعريف:

2. الحد العام (صيغة العلاقة بين حدين):

3. مجموع حدود متتالية حسابية:

أمثلة تطبيقية على المتتالية الحسابية:

عن الكاتب

admin

اترك تعليقاً إلغاء الرد

المقاربات

الرياضيات

مقدمة في المتتاليات

📚 المتتاليات العددية: من التعريف إلى الرتابة والخواص

أولاً: تعريف المتتالية وطرق توليدها

ثانياً: دراسة جهة طراد المتتالية (الرتابة)

1. التعاريف الأساسية:

2. طرق دراسة الرتابة:

الطريقة الأولى: دراسة إشارة الفرق

الطريقة الثانية: دراسة نسبة الحدين

الطريقة الثالثة: دراسة الدالة المولدة

أمثلة تطبيقية على دراسة الرتابة:

ثالثاً: المتتالية الحسابية (Suites Arithmétiques)

1. التعريف:

2. الحد العام (صيغة العلاقة بين حدين):

3. مجموع حدود متتالية حسابية:

أمثلة تطبيقية على المتتالية الحسابية:

عن الكاتب

admin

شارك هذا المقال

اترك تعليقاً إلغاء الرد

مقالات ذات صلة

التوابع الاصلية – التكامل

توابع

المقاربات

المقاربات

الرياضيات